বইটার চতুর্থ অধ্যায়ে 84 পাতার অংকটায় আমরা কয়েকটা জিনিস ব্যবহার করেছি,
যেগুলো আগে লিখে দিলে হয়তো
বুঝতে সুবিধা হবে৷
যদি $A\subseteq B$ হয়, তবে $A$-র limit point-রা
$B$-এরও limit point হতে বাধ্য৷ মানে $A'\subseteq B'.$
যদি একটা set দেওয়া থাকে $A,$ আর তুমি ওর প্রতিটা element-এর
সঙ্গে $5$ যোগ করে দাও, (মানে পুরো set-টাই $5$ ঘর ডানদিকে সরে
যায়), তবে ওর limit point-গুলোও $5$ ঘর ডানদিকে সরে যেতে বাধ্য৷ এখানে
$5$-এর কোনো বিশেষ মাহাত্ম্য নেই, যেকোনো সংখ্যা $ b$-র জন্যই $(A+b)'=A'+b$ হবে৷
যদি $A$-র প্রতিটা element-কে $5$ দিয়ে গুণ করে দাও (মানে
$A$-কে টেনে $5$-গুণ লম্বা করে দাও), তবে limit point-গুলোও
$5$ দিয়ে গুণ হয়ে যাবে৷ In general, যেকোনো সংখ্যা $b\neq0$-র
জন্যই $(bA)' = bA'$ হবে৷
যদি $A$ থেকে কেবল finite-সংখ্যক element ফেলেও দাও,
তাতে তার limit point-রা বদলায় না৷
যদি তোমাকে finite-সংখ্যক set দিই, $A_1,A_2,...,A_n,$ আর
ওদের union নিলে $A$ হয়, তবে $A' = A_1'\cup A_2'\cup\cdots\cup A_n'$ হবে৷
এই কটা জিনিস মাথায় রেখে এবার আমাদের অংকটা দেখা যাক৷ ধাপে ধাপে এগোব৷
প্রথম ধাপে লক্ষ করো--
$$E = E_1\cup E_2\cup \cdots.$$
তাই $E_1, E_2,...$ ইত্যাদিরা সবাই $E$-এর subset. সুতরাং এদের limit point-রা
$E$-এরও limit point. এবার লক্ষ করো যে,
$$E_1 = \{1+1,1+\frac12,1+\frac13,...\} = 1+\{1,\frac12,\frac13,...\}.$$
আমরা জানি যে, $ \{1,\frac12,\frac13,...\}$-এর একমাত্র limit point হল $0.$ তাই $E_1' = \{1\}.$
একইভাবে $E_2 = \frac12+\{\frac12,\frac13,...\}.$ তাই $E_2' = \{\frac12\}.$
সুতরাং বোঝা যাচ্ছে যে, $1,\frac12,\frac13,...$ ইত্যাদিরা সবাই $E$-এর limit point.
দ্বিতীয় ধাপে দেখাবো যে $0$-ও $E$-এর একটা limit point. এর জন্য দ্যাখো যে $1 = \frac12+\frac12\in E,$
আবার $\frac12 = \frac14+\frac14\in E,$ তারপর $\frac13 = \frac16+\frac16\in E.$ এইভাবে চলতে চলতে
পুরো $ \{1,\frac12,\frac13,...\}$-ই হল $E$-এর subset. সুতরাং $0$ হবে $E$-এর
limit point.
এইভাবে প্রথম দুই ধাপের শেষে দেখলাম যে, $\{0\}\cup\{1,\frac12,\frac13,...\}\subseteq E'.$
এবার তৃতীয় ধাপে দেখাব যে এছাড়া $E$-এর আর কোনো limit point নেই, মানে $A = \{0\}\cup\{1,\frac12,\frac13,...\}$
নিলে দেখাবো যে $E'=A.$
এইটা একটু ঘুরপথে দেখাব৷ $E'=A$ দেখানো আর $E'\setminus A=\phi$ দেখানো একই কথা৷
আবার সেটা দেখানো আর $E'\setminus A\subseteq \cap_{k=1}^\infty (0,\frac{1}{2k}]$ দেখানোর মানে
একই৷ এই জায়গাটা কিন্তু বেশ কঠিন৷
একটু ছবি দিয়ে ভেবে নাও যে কেন $\cap_{k=1}^\infty (0,\frac{1}{2k}]$ আসলে $\phi.$ না বুঝলে জিজ্ঞাসা কোরো৷
তাহলে আমরা দেখাবো যে, যেকোনো $k$-র জন্যই $E'\setminus A\subseteq (0,\frac1k]$ হবে৷
প্রথমে দ্যাখো যে $E = E_1\cup\cdots\cup E_{k-1}\cup F_k,$ যেখানে $F_k = E_k\cup\cdots.$
এটা finite-সংখ্যক set-এর union, তাই
$E' = E_1'\cup\cdots\cup E_{k-1}'\cup F_k'.$
লক্ষ করো যে, $F_k$-এর মধ্যে প্রতিটা element-ই $\leq\frac{1}{2k}.$ তাই $F_k$-র কোনো
limit point-ই $[0,\frac{1}{2k}]$-র বাইরে যাবে না৷ এদিকে $E_1', E_2',...,E_{k-1}'$ তো $A$-র
মধ্যে ধরাই আছে৷ তাই
$E'\setminus A\subseteq (0,\frac{1}{2k}]$ হতে বাধ্য, ঠিক যেমনটা আমরা চাইছিলাম৷
বোঝা গেল কি? নাকি এবারও গুলিয়ে গেল?