প্রথমে বোঝা যাক differentiation-এর পিছনে মূল ধারণাটা কী, যে ধারণাটা যেকোনো dimension-এই
কাজ করে, এমন কি complex analysis-এর বেলাতেও কাজ করে৷
কোনো function-কে differentiate করার জন্য প্রথম
প্রয়োজন হল function-টার domain আর codomain
দুটোই যেন ${\mathbb R}$-এর উপরে একেকটা vector space হয়৷ আমরা এখানে খালি
finite dimensional vector space নিয়েই কাজ করব, তাই $f:{\mathbb R}^n\rightarrow{\mathbb R}^m$
ধরে নিতে পারো৷ যদি ${\mathbb C}$ নিয়ে কাজ করতে চাও, তবে ${\mathbb C}$-কে
${\mathbb R}^2$ বলে ভাবলেই হল৷ যদি বলি $f$ হল কোনো একটা
$a\in{\mathbb R}^n$-এ differentiable, তার মানে $a$-এর কোনো একটা
neighbourhood-এ $f$-টাকে দেখতে কোনো একটা বিশেষ ধরণের সহজ
function-এর মত দেখতে, অর্থাৎ
$$\lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)-g_a(x)}{\|x-a\|} = 0,$$
যেখানে $g_a(x)$ হল সেই ''বিশেষ ধরণের'' কোনো function.
এই ''বিশেষ ধরণ''-টা কী, তার উপর ভিত্তি করেই
বিভিন্নরকমের differentiation-এর
সংজ্ঞা তৈরী হয়৷
যদি $m=n=1$ হয়, তবে আমরা ''বিশেষ ধরণ''-টা নিই $(a,f(a))$ বিন্দুগামী কোনো
সরলরেখা, অর্থাৎ--
$$g_a(x) = f(a) + m\cdot (x-a).$$
এই সরলরেখাটাই
হল যাকে আমরা বলি tangent, আর $m$-টাকে বলি derivative.
যদি $n=2$ আর $m=1$ নিই (মানে surface), তবে ''বিশেষ ধরণ''-টা নিই $(a,f(a))$
বিন্দুগামী plane, অর্থাৎ--
$$g_a(x) = f(a) + m_1\cdot (x_1-a_1) + m_2\cdot (x_2-a_2).$$
এখানে $(a,f(a))$ কিন্তু ${\mathbb R}^3$-তে আছে, যেহেতু $a\equiv(a_1,a_2)\in{\mathbb R}^2.$
এই plane-টাকে আমরা বলি tangent plane, আর $m_1,m_2$-কে বলি দুটো partial derivative.
লক্ষ করো এই $g_a(x)$-কে আমরা একটু সাজিয়ে এভাবে লিখতে পারতাম--
$$g_a(x) = f(a) + M\cdot (x-a),$$
এখানে $M$ হল একটা $1\times 2$ সাইজের matrix--
$$M = \left[\begin{array}{ccccccccccc}m_1 & m_2
\end{array}\right].$$
তার মানে $g_a(x)-f(a)$ হচ্ছে একটা linear transformation. আমরা জানি যে, linear transformation-রা
বেশ ভদ্র জিনিস৷ সুতরাং এইভাবে ভাবলে differentiable মানে হল এমন function, যাকে একটা ছোটো
neighbourhood-এর মধ্যে দেখলে linear transformation বলেই মনে হয়৷
এই সংজ্ঞাটার সুবিধা হল এটাকে দিব্যি যেকোনো dimension-এই ব্যবহার করা যায়৷ ধরো $f:{\mathbb R}^n\rightarrow{\mathbb R}^m$
আর $a\in{\mathbb R}^n.$ আমরা বলব $f$ হল $a$-তে differentiable যদি এমন একটা linear transformation
থাকে $T_a(x),$ যাতে $g_a(x) -f(a)=T(x-a)$ নিলে $f(x)$ আর
$g_a(x)$ প্রায় একই জিনিস হয়, মানে
$$\lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)-T_a(x-a)}{\|x-a\|} = 0.$$
তাহলে এই linear transformation-টাকেই আমরা বলব $a$-তে $f$-এর derivative.
যদি $f:{\mathbb C}\rightarrow{\mathbb C}$ নাও, তাহলেও একইরকম ধারণা কাজ করে৷ সেখানে খালি linear transformation নিলেই
হবে না, $T_a(x)$-কে খালি rotation, reflection আর uniform scaling মিশিয়ে তৈরী হতে
হবে৷
মন্তব্য
নীচে একটা মন্তব্য দেওয়ার জায়গা রয়েছে. দেখে মনে হবে যেন তার জন্য আগে log
in করতে হবে. যদি তাতে আপত্তি থাকে, তবে ওই "Name"-এর জায়গায় একবার
click করলেই "I'd rather post as a guest" বলে একটা option আসবে.